Le  Nombre  py

par Carlos Caballé Puig.

  

      Alors que par une belle journée, j'allai en compagnie de María Dolores mon épouse, me rendre compte de l'allure qu'avait à présent la promenade après que lui eurent été ajoutés des bancs en pierre de taille et que, profitant une fois là, de cette occasion nous nous soyons assis un moment afin de profiter de la vue environnante, je me rendis compte que le constructeur avait représenté sur le tracé en mosaïque de la promenade, des figures géométriques carrées réalisées au moyen de dalles d'une couleur différente de celle utilisée pour le reste des travaux, certaines de ces formes étant composées de quatre dalles et les autres de vingt-cinq dalles.

      Regardant alors avec plus d'attention, il me vint à l'esprit que les figures constituées de quatre dalles avaient un périmètre de 8 unités pour une aire ou surface de 4 unités ou dalles, alors que les figures de vingt-cinq dalles avaient un périmètre de 20 unités pour une aire ou surface de 25 unités ou dalles.

      Pour qui sait un peu d'arithmétique, il était facile de vérifier quel était le périmètre et la surface du dessin, mais ce qui attisai davantage ma curiosité c'était le fait que la plus petite des figures ait un périmètre supérieur à sa surface alors que la figure la plus grande avait un périmètre inférieur à sa surface. Étant donné que toutes ces mosaïques étaient égales, il devait forcément exister une figure géométrique pour laquelle le nombre des unités composant le périmètre seraient égales au nombre d'unités composant la surface.

      Lorsque je rentrai à la maison, je m'asseyais devant mon cahier de notes et crayons en main, je décidai de calculer les valeurs mathématiques de quelques figures géométriques simples, pour lesquelles l'aire serait égale au périmètre ... mais les résultats obtenus alors ne m'apprirent rien me permettant de créer un rapport en ces deux concepts.

      Quelques jours plus tard, j'eus cependant l'idée de dessiner ces figures géométriques et de les superposer. Quelle ne fut pas alors ma surprise en découvrant que toutes avaient une valeur d'apothème identique, à savoir un apothème de 2 unités. Cela était néanmoins logique, puisque toutes les figures géométriques peuvent être décomposées en triangles, les triangles résultant de cette décomposition ayant la même valeur que le nombre de côtés de la figure et étant donné que l'aire d'un triangle est égal à la moitié de sa base multipliée par sa hauteur; lorsque la hauteur des sous-triangles est égale à deux, le périmètre est alors égal à la surface ou aire.

      Alors que je vérifiai que l'apothème de chacun des polygones réguliers convexes correspondait au rayon de la circonférence bi-équivalente, il se produisit un dilemme dans mon esprit, assez subjectif d'ailleurs, en observant que les définitions respectives de l'apothème et du rayon avaient comme permuté leurs définitions propres, modifiant ainsi ces deux concepts d'école. Et pour que vous compreniez bien où je veux en venir avec cela, je vous dirai que tout se passait comme si les roues d'un chariot au lieu d'avoir des rayons, avaient des apothèmes!.

      Le mot "apothème" vient du grec "APO" qui signifie loin et de "TITHENAI" qui veut dire positionner. Il est entendu et bien sûr évident, que le point le plus éloigné du centre d'un polygone est le sommet formé par n'importe lequel de ses angles, et jamais le milieu de l'un de ses côtés. Je crois qu'il serait inutile de discuter maintenant des définitions d'écoles qu'il nous fut à tous si difficiles d'apprendre et de retenir, en leur temps, car en réalité je vais travailler sur la base d'un rapport entre ces deux concepts et l'angle qu'ils forment, et ce même si par définition, lesdits concepts ont, comme nous l'avons vu, été modifiés et leurs sens respectifs, comme permutés, car "π" sera toujours le résultat d'un rapport mutuel.

      Si l'on prend pour exemple, -sachant que pour démontrer la véracité de mes propos, n'importe quelle figure géométrique régulière ferait l'affaire-, un carré que l'on décompose en quatre triangles, comme indiqué sur la figure ci-contre, on observe que sur l'un de ces triangles intérieurs, l'apothème et le rayon forment un angle et que la somme de tous les angles situés de part et d'autre de cet apothème, ainsi que leurs rayons respectifs est de 360º. L'ouverture de chaque angle a pour tangente le quotient d'un demi-côté, divisé par le rayon représenté sur la figure, le nombre de triangles formant la décomposition interne du carré étant égal au nombre de côtés composant la figure.

      Sur n'importe quelle figure géométrique, l'apothème et le rayon forment un angle égal au quotient obtenu par la division de 180º par le nombre de côtés de la figure et la tangente est une constante universelle qu'il est très simple de calculer.

      Si l'on multiplie le nombre de côtés de n'importe quelle figure géométrique régulière par la tangente que forment l'apothème et le rayon de cette dernière, on obtient une constante différente pour chaque figure, que nous appèlerons "py" de la figure, ainsi "π" est donc bien un rapport entre l'apothème et le rayon dont la valeur numérique est le produit du nombre de côtés de la figure multiplié par la tangente de l'angle formé par l'apothème et le rayon.

      Je peux donc maintenant conclure que bien que les concepts d'école de l'apothème et du rayon aient changés, "π" n'est pas une constante universelle, mais bien plutôt un rapport arithmétique correspondant à une série infinie de constantes polygonales qui jusqu'à maintenant souffrait d'une "définition incorrecte", dont l'exemple le plus représentatif était celui de la circonférence.

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